Vào đầu học tập kì II của lớp 12, những em học viên sẽ được học tập nguyên hàm. Trong chương này, những em sẽ có tác dụng quen mọi khái niệm, công thức nguyên hàm. Mong muốn giải nhanh những bài tập nguyên hàm thì câu hỏi nhớ chính xác mỗi phương pháp nguyên hàm là điều cần thiết, kế nữa em phải ghi nhận sử dụng bí quyết nào đến kết quả chính xác và nhanh. Bởi đó, hanoitranserco.com.vn vẫn dày công biên soạn không chỉ các công thức nguyên hàm toán lớp 12 mà còn nhiều bài tập có giải thuật chi tiết


1. Bảng công thức nguyên hàm

a) bí quyết cơ bản

Phần cơ phiên bản này có 12 công thức nguyên hàm được bố trí thành bảng dưới đây:

*

b) Nguyên hàm mũ

Với nguyên hàm của hàm mũ được chia làm 8 công thức thuộc 2 công ty đề:

Hàm nón eHàm mũ

*

c) Nguyên các chất giác

Bảng cách làm nguyên hàm vị giác này còn có 12 công thức tiếp tục gặp:

*

d) bí quyết nguyên hàm căn thức

Nguyên hàm của căn thức trước giờ đồng hồ vẫn xem là khó nên hanoitranserco.com.vn đã tuyển lựa chọn những công thức thường gặp, tiếp nối sắp xếp từ căn bản tới nâng cao

*

2. Bài bác tập nguyên hàm

a) bài tập bao gồm lời giải

Câu 1. Hãy kiếm tìm nguyên hàm $int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2dx $

A.$fracx^22 – ln left| 2 – x ight| + C$.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn bậc 2

B. $fracx^22 + ln left| 2 – x ight| + C$.

C. $fracx^33 – ln left| 2 – x ight| + C$.

D. $fracx^33 + ln left| x – 2 ight| + C$.

Lời giải

Chọn A

Vì $frac – x^3 + 5x + 24 – x^2$$ = fracx^3 – 5x – 2x^2 – 4$$ = fracleft( x + 2 ight)left( x^2 – 2x – 1 ight)left( x + 2 ight)left( x – 2 ight)$$ = x – frac1x – 2$

$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$. $ Rightarrow int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2 extdx $$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx $$ = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$

Câu 2. Search hàm số $f(x)$ biết rằng $f"(x) = ax + fracbx^2$ thỏa mãn $f’left( 1 ight) = 0; ext fleft( 1 ight) = 4; ext fleft( – 1 ight) = 2$

A. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x – frac52$.

B. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$.

C. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x + frac52$.

D. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x – frac52$.

Lời giải

Chọn B

Vì $f’left( 1 ight) = 0 Rightarrow a + b = 0 ext left( 1 ight)$

Ta lại có $fleft( x ight) = int f’left( x ight) extdx $$ = int left( ax + fracbx^2 ight) extdx $$ = fracax^22 – fracbx + C$

Vì $fleft( 1 ight) = 4$$ Leftrightarrow fraca2 – b + C = 4$$ Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8 ext left( 2 ight)$

và $fleft( – 1 ight) = 2 Leftrightarrow fraca2 + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4 ext left( 3 ight)$

Giải hệ phương trình $left{ eginarrayl a + b = 0\ a – 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a = 1\ b = – 1\ c = frac52 endarray ight.$

Vậy $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$

Câu 3. Giá trị $m,n$ để hàm số $Fleft( x ight) = left( 2m + n ight)x^3 + left( 3m – 2n ight)x^2 – 4x$ là một trong những nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 3x^2 + 10x – 4$. Khi ấy $8m – 2n$ là:

A. $6$.

B. $12$.

C. $10$.

D. $ – 2$.

Lời giải

Chọn C

$int left( 3x^2 + 10x – 4 ight)dx = x^3 + 5x^2 – 4x + C $

Khi đó ta bao gồm $left{ eginarrayl 2m + n = 1\ 3m – 2n = 5\ C = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 1\ n = – 1\ C = 0 endarray ight.$ nên $8m – 2n = 10$.

Câu 4. Search nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2sin ^3x1 + cos x$.

A. $int f(x)dx = frac12cos ^2x – 2cos x + C $.

B. $int f(x)dx = cos ^2x – 2cos x + C $.

C. $int f(x)dx = cos ^2x + cos x + C$.

D. $int f(x)dx = frac12cos ^2x + 2cos x + C $.

Xem thêm: Stream Khi Tinh Yeu Het Han Su Khon Len Ngoi 5? Khi Tình Yêu Hết Hạn Sự Khốn Nan Lên Ngôi 5

Lời giải

Chọn B

$int left( frac2sin ^3x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin x.sin ^2x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin xleft( 1 – cos ^2x ight)1 + cos x ight) dx$ $ = 2int sin xleft( 1 – cos x ight)dx $ $ = int 2left( cos x – 1 ight)dleft( cos x ight) $$ = cos ^2x – 2cos x + C$

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fraccos ^3xsin ^5x$.

A. $int f(x).dx = frac – cot ^4x4 + C$.

B. $int f(x).dx = fraccot ^4x4 + C$.

C. $int f(x).dx = fraccot ^2x2 + C$.

D. $int f(x).dx = frac an ^4x4 + C$.

Lời giải

Chọn A

$int fraccos ^3xdxsin ^5x $ $ = int cot ^3x.fracdxsin ^2x $ $ = – int cot ^3x.dleft( cot x ight) $ $ = frac – cot ^4x4 + C$

Câu 6. tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)$.

A. $int f(x).dx = sin 2x – frac14sin ^32x + C$

B. $int f(x).dx = frac12sin 2x + frac112sin ^32x + C$.

C. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$.

D. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac14sin ^32x + C$.

Lời giải

Chọn C

$int cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)dx $ $ = int cos 2xleft< left( sin ^2x + cos ^2x ight) – 2sin ^2x.cos ^2x ight>dx $

$ = int cos 2xleft( 1 – frac12sin ^22x ight)dx $ $ = int cos 2xdx – frac12int sin ^22x.cos 2xdx $ $ = int cos 2xdx – frac14int sin ^22x.dleft( sin 2x ight) $ $ = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$

Câu 7. Search nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an x + e^2sin x ight)cos x$.

A. $int f(x)dx = – cos x + frac12e^2sin x + C$.

B. $int f(x)dx = cos x + frac12e^2sin x + C$.

C. $int f(x)dx = – cos x + e^2sin x + C$.

D. $int f(x)dx = – cos x – frac12e^2sin x + C$.

Lời giải

Chọn A

$int left( an x + e^2sin x ight)cos xdx $ $ = int sin xdx + int e^2sin xdleft( sin x ight) $ $ = – cos x + frac12e^2sin x + C$

b) bài bác tập trắc nghiệm nguyên hàm trường đoản cú luyện

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 2x^3 – 9.$

A. $frac12x^4 – 9x + C.$

B. $4x^4 – 9x + C.$

C. $frac14x^4 + C.$

D. $4x^3 + 9x + C.$

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = x^2 – frac5x + frac3x^2 – frac13$.

A. $fracx^33 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$

B. $fracx^33 – 5ln left| x ight| + frac3x – frac13x + C$

C. $2x^3 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$

D. $2x – frac5x^2 + frac3xx^4 + C$

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1x^2 – x^2 – frac13$ là:

A. $ – fracx^4 + x^2 + 33x + C$

B. $ – fracx^33 + frac1x – fracx3 + C$

C. $frac – x^4 + x^2 + 33x + C$

D. $ – frac1x – fracx^33 + C$

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = sqrt<3>x$

A. $Fleft( x ight) = frac3sqrt<3>x^24 + C$

B. $Fleft( x ight) = frac3xsqrt<3>x4 + C$

C. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x + C$

D. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x^2 + C$

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1xsqrt x $

A. $Fleft( x ight) = frac2sqrt x + C$

B. $Fleft( x ight) = – frac2sqrt x + C$

C. $Fleft( x ight) = fracsqrt x 2 + C$

D. $Fleft( x ight) = – fracsqrt x 2 + C$

Trên đó là các công thức nguyên hàm lớp 11 được soạn từ cơ phiên bản tới nâng cao. Mong mỏi làm xuất sắc bài tập giỏi rút gọn biểu thức thì câu hỏi học trực thuộc lòng những phương pháp trong bảng trên là nên thiết. Lúc nhớ đúng chuẩn mỗi công thức, vận dụng nó một cách thuần thục thì giải bài tập trở lên nhanh, cho kết quả chính xác. Nguyên hàm là kiến thức ban đầu học làm việc lớp 12, còn mới lạ, nhiều công thức, bài tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu như bạn chăm học, coi kĩ bài viết này và liên tiếp xem lại các công thức thì nó vẫn trở lên đơn giản.