phương thức giải hệ phương trình Giải hệ phương trình chăm đề luyện thi Đại học môn Toán Ôn tập môn Toán vấn đề hệ phương trình tài năng giải toán phương trình

Bạn đang xem: Các dạng hệ phương trình thi đại học

*
pdf

bài xích giảng Tin học ứng dụng nâng cao: Giải phương trình và hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bởi


Xem thêm: Một Tháng Trứng Rụng Mấy Lần Trong Tháng, Thời Gian Rụng Trứng Kéo Dài Bao Lâu Mỗi Tháng

*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc


Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tập san THTT 2010Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp mặt rất nhiều việc về hệphương tr ình. Nhằm mục tiêu giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này cửa hàng chúng tôi xin ra mắt một sốdạng bài bác và năng lực giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm bình thường của dạng hệ này là sử dụng những kĩ năng chuyển đổi đồng tuyệt nhất đặcbiệt là tài năng phân tích nhằm mục tiêu đưa một PT vào hệ về dạng dễ dàng ( rất có thể rút theoy hoặc trái lại ) rồi nỗ lực vào PT sót lại trong hệ.*Loại đồ vật nhất: vào hệ gồm một phương trình số 1 với ẩn x hoặc y lúc ấy ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Thường thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại thứ hai: Một phương trình vào hệ rất có thể đưa về dạng tích của các phương trìnhbậc tuyệt nhất hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta có x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 thế vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( vì y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại trang bị ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc nhị của một ẩn,ẩn còn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến thay đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta gồm D " = 9 x 2 từ kia ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm đặc biệt nhất vào hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay trong từng phương trình hoặc lộ diện sau một phép thay đổi hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân tách cho một biểu thức không giống 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không thỏa mãn PT(1) phải HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta có hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này chúng ta đọc rất có thể giải dễ dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều kiện : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( bởi vì a ³ 2 ) từ kia ta bao gồm hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ loại này ta chạm mặt nhiều ở nhị dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơnđiệu trên tập D và x, y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải review ẩn x, y nhằm x, y trực thuộc tậpmà hàm f đối kháng điệu* loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ tất cả dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta số lượng giới hạn x, y ở trong tập D đặt trên để trên đó hàm f đơn điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Trường đoản cú PT (2) ta có x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> bao gồm f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t vì vậy hàm số f (t ) đồngbiến trên RNên PT (3) Û a = b cố kỉnh vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo thừa nhận xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 nên PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( đem ln nhị vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học tập 20111- ln 3 2 từ bỏ (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ đang cho tương tự với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 cùng = -9 (loại). Cùng với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều khiếu nại x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) bao gồm t 2 + t - 2 = 0 cùng với t = log y x .()()æ3öa) với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) cùng với log y x = -2 , ta được x = 2 . Núm vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường hòa hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:+ nếu như y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học 20111221+ nếu như 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã mang lại chỉ bao gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ đang cho tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Tiếp sau đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ bên trên ta thấy x , y, z > 0 . Thực hiện bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương từ ta nhận được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ kia suy ra hệ gồm một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Nắm y từ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) tất cả x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta gồm f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một vấn đề trong Đề thi tuyển chọn sinh Đại học gần nhất mà nếu như khôngdùng đến giải pháp đạo hàm thì khó rất có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t tất cả f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 nên f (t ) luôn đồng biến đổi trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 cùng x = chưa phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa bao gồm g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t nên hàm số f (t ) luôn luôn đồng biến chuyển nênx= y Û x = y 2 . Nuốm x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 .yVậy hệ gồm hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) cùng ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải các hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + 20 y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền